КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ — совокупность методов оценки связи между случайными явлениями и событиями, основанных на математической теории корреляции. При этом используются простейшие характеристики, требующие минимума вычислений. Термин «корреляция» обычно отождествляется с понятиями «связь» и «взаимозависимость». Однако они не адекватны. Корреляция является только одним из видов связи между признаками, к-рая проявляется в среднем и носит линейный характер. Если между двумя величинами существует однозначная связь, то такая связь называется функциональной и по одной из величин (причине) можно однозначно определить значение другой величины (следствие). Функц, зависимость является частным выражением случайной (вероятностной, стохастической) зависимости, когда связь проявляется не для каждых значений двух величин, а только в среднем.

К. а. применяется при изучении двух или большего количества случайных величин с целью выявления двух важнейших количественных характеристик: математического уравнения связи между этими величинами и оценки тесноты связи между ними. Исходными данными для определения этих характеристик служат синхронные результаты наблюдения (измерения, эксперимента), т. е. одновременно полученные из опыта статистические данные по признакам, связь между к-рыми изучается. Исходные данные могут быть заданы в виде таблиц с записями результатов наблюдения или их равноценных представлений на магнитной ленте, перфоленте или перфокартах.

К. а. нашел широкое применение в медицине и биологии для определения тесноты и уравнений связи между различными признаками, напр, результаты анализов клин, признаков или специальных обследований, проведенных над здоровыми или больными людьми (см. Корреляция функций организма). Результаты К. а. используются для составления объективных прогнозов заболеваний, оценки состояния больного, течения болезни (см. Прогнозирование). Априори, только по результатам теоретических биол, и мед. исследований, трудно или вовсе невозможно предсказать, как связаны между собой изучаемые признаки. Для того чтобы ответить на этот вопрос, проводят наблюдение или специальный эксперимент.

Двухмерный корреляционный анализ применяется при обработке опытных данных проявления каких-либо двух признаков.

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТАБЛИЦА
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТАБЛИЦА. Примечание. В таблице приведены интервалы признаков X и Y, а также частоты их появления (в центре таблицы), подсчитанные по результатам морфометрического анализа микроциркуляторного русла бульбоконъюнктивальной области, где Y — диаметр венулы, а X — диаметр артериолы (в ммк).

Каждый результат опыта представляет собой случайную величину, а объективные закономерности проявляются только во всей совокупности результатов измерения. Поэтому выводы делаются по результатам обработки всей совокупности экспериментальных данных, а не по отдельным значениям, которые являются случайными. Для уменьшения влияния случайного события исходные данные объединяются в группы, что достигается путем составления корреляционной таблицы (см. табл.). Такая таблица содержит интервалы (или их середины) значений двух признаков — У и X, а также частоту появлений значений X и Y [mij(х, у)] в соответствующем интервале этих значений. Эти частоты, подсчитанные по результатам опыта, представляют собой практическую оценку вероятности совместного появления значений X и Y конкретного интервала. Построение корреляционной таблицы является первым этапом обработки исходной информации. Построение корреляционных таблиц и их дальнейшую полную обработку осуществляют быстро на универсальных или специализированных ЭВМ (см. Электронная вычислительная машина). По сгруппированным данным корреляционной таблицы рассчитывают эмпирические характеристики уравнения и тесноты связи. Для определения уравнения связи между Y и X рассчитывают средние значения признака Y в каждом интервале признака X. Т. о. получают для каждого i-го интервала значение Yxi, соединение которых для всех i-интервалов дает эмпирическую линию регрессии, характеризующую форму связи признака Y с признаком X в среднем — график функции Yx= f(x). Если бы между признаками Y и X существовала однозначная связь, уравнения связи было бы достаточно для решения практических и теоретических задач, т. к. с его помощью всегда можно определить значение признака Y, если задано значение X. На практике же связь между Y и X не является однозначной, эта связь является случайной и одному значению X соответствует ряд значений Y. Поэтому необходима еще одна характеристика, измеряющая силу, тесноту связи между Y и X. Такими характеристиками являются дисперсионное (корреляционное) отношение ηух и коэффициент корреляции ryx. Первая из этих величин служит характеристикой тесноты связи между Y и X в произвольной функции f, а ryx — используется только в случае, когда f является линейной функцией.

Величины ηyx и ryx также просто определяются по корреляционной таблице. Расчет обычно ведут в следующем порядке: определяют средние значения обоих признаков X и Y, их средние квадратические отклонения σx и σy, а затем ηxy по формуле:

и ryx по формуле:

где n — общее число опытов, Xcpi — среднее значение X i-го интервала, Ycpj — среднее значение Y j-го интервала, k, l — количество интервалов признаков X и Y соответственно, mi(x) — частота (количество) значений Xcpi. Количественными характеристиками точности определения ηyx и ryx служат их средние квадратические отклонения, которые равны

Значения коэффициента η лежат в пределах между нулем и единицей (0=<ηyx=<1). Если ηyx= 0 (рис., а), то это свидетельствует о том, что признаки Y и X недисперсированы, т. е. регрессия Yx = f(x) не дает связи между признаками Y и X, а при ηyx = 1 существует однозначная связь между Y и X (рис., б, ж). Для ηyx<1 признак Y только частично определяется признаком X, и необходимо изучение дополнительных признаков для повышения достоверности определения Y (рис., г, д, е, и).

Поля корреляции и линии регрессии в зависимости от значений дисперсионного отношения ηyx и коэффициента корреляции ryx. Поле корреляции обозначено совокупностью точек, каждая из которых представляет собой результат отдельного измерения (наблюдения); линии регрессии — это графическое изображение функциональной зависимости признака Y от признака X. Видно, что между ними нет четкой связи при ηyx = 0 (а); при ηyx — 1 (6, ж) существует четкая и однозначная зависимость; при ηyx< 1 (г, д, e, и) признак Y только частично определяется признаком X (виден большой «разброс» значений отдельных измерений). Аналогично, когда ryx= 0 (а, ж), между признаками Y и X нет линейной зависимости; при ryx = + 1 (б) или ryx = -1 зависимость между признаками носит линейный характер (пропорциональный при положительном и обратно пропорциональный — при отрицательном значении ryx; при ryx=< +1 (г,д,е) признак Y только частично определяется значениями X.
Поля корреляции и линии регрессии в зависимости от значений дисперсионного отношения ηyx и коэффициента корреляции ryx. Поле корреляции обозначено совокупностью точек, каждая из которых представляет собой результат отдельного измерения (наблюдения); линии регрессии — это графическое изображение функциональной зависимости признака Y от признака X. Видно, что между ними нет четкой связи при ηyx = 0 (а); при ηyx — 1 (6, ж) существует четкая и однозначная зависимость; при ηyx< 1 (г, д, e, и) признак Y только частично определяется признаком X (виден большой «разброс» значений отдельных измерений). Аналогично, когда ryx= 0 (а, ж), между признаками Y и X нет линейной зависимости; при ryx = + 1 (б) или ryx = -1 зависимость между признаками носит линейный характер (пропорциональный при положительном и обратно пропорциональный — при отрицательном значении ryx; при ryx=< +1 (г,д,е) признак Y только частично определяется значениями X.

Значение коэффициента r лежит в пределах между —1 и +1 (—1=<ryx=<1). Когда ryx= 0 (рис., а, ж), то между признаками Y и Z не существует линейной зависимости, т. е. они не коррелированы. Если ryx = +1 или ryx = —1 (рис. б, в), то между Y и X существует однозначная линейная зависимость и по заданному значению признака X можно определить признак Y. При этом при ryx = +1 связь между Y и X прямо пропорциональна (с ростом X растет и Y), а при ryx = —1 — обратнопропорциональна (Y уменьшается с ростом X). Когда ryx =< +1 (рис., г, д, е), признак Y только частично определяется признаком X и повышение достоверности определения Y может быть достигнуто только за счет включения в рассмотрение дополнительных связанных с Y признаков. Определение величин ryx и ηyx для признаков X и У, суммированных в корреляционной таблице, приведенной выше, показывает, что величины коэффициента корреляции (ryx) и дисперсионного отношения (ηyx) приблизительно равны 0,5, соответствуя, т. о., графическому изображению на рис., д, т. е. прослеживается линейная зависимость между признаками X и Y. Вместе с тем для уточнения характера связи между этими признаками требуется проведение дополнительных наблюдений (обследований). В случае нелинейной регрессии [Yx = f(x)] коэффициент корреляции занижает действительную тесноту связи между признаками Y и X (рис., и) и в этом случае необходимо пользоваться дисперсионным отношением ηyx.

Многомерный корреляционный анализ — определение уравнения и тесноты связи в случаях, когда число изучаемых признаков больше двух. Так, если Y является сложным признаком и его исход зависит от появления множества признаков Х1, Х2, ..., Хn, то, по экспериментальным данным, должны быть определены: а) уравнение связи признака Y с совокупностью признаков Х1, Х2,..., Хn, т.е. Yx1x2...xn = F(x1, x2...,xn) ; б) теснота связи между Y и совокупностью X1, Х2,..., Хn.

Предварительная обработка результатов наблюдения при многомерном К. а. заключается в том, что для каждой пары признаков определяются значения дисперсионных отношений ηyxi (i = 1,2,..., n) и ηxixj (i!=j) коэффициентов корреляции ryxi и rxixj, а также парные регрессии Yxi = fi(xi). По этим данным затем определяются уравнения множественной регрессии Yx1x2...xn = F (x1,x2,...,xn), множественное дисперсионное отношение ηyx1x2...xn и множественный коэффициент корреляции Ryx1x2...xn. Уравнение множественной регрессии дает возможность определить значение признака Y по совокупности значений X1, Х2, ..., Xn, т. е. при наличии этого уравнения можно прогнозировать значения Y по результатам конкретных значений полученной совокупности (напр., результатов анализа по признакам X1, Х2...Хn). Значение ηyx1x2...xn используется в качестве характеристики тесноты связи между Y и совокупностью признаков Х1, Х2, ...Xn для произвольной функции F, a Ryx1x2...xn — для случая, когда функция F линейна. Коэффициенты ηyx1x2....xn и Ryx1x2...xn принимают значения между нулем и единицей. Включение в рассмотрение при многомерном К. а. дополнительных признаков дает возможность получить значения ηyx1x2...xn, Ryx1x2...xn ближе к единице и таким образом повысить точность прогноза признака Y по множественному уравнению регрессии.

В качестве примера рассмотрим результаты парного К. а., а также уравнение множественной регрессии и множественный коэффициент корреляции между признаками: Y — устойчивый псевдопарез, X1 — латерализация моторного дефекта в конечностях справа, Х2 — то же в конечностях слева, Х3 — вегетативные кризы. Значения дисперсионных отношений и коэффициентов парной корреляции для них будут соответственно ηyx1 = 0,429, ηyx2 = 0,616, ηyx3 = -0,334, a ryx1 = 0,320, ryx2 = 0,586, ryx3 = -0,325. По уравнению множественной линейной регрессии Yх1х2х3 = 0,638 x1 + 0,839 x2 — 0,195 x3. Коэффициент множественной корреляции будет выражаться величиной Ryx1x2x3 =0,721. Из примера видно, что по данным Х1, Х2 и Х3 с достаточной для практики точностью можно прогнозировать устойчивый псевдопарез.

Методы К. а. дают также возможность получить динамические характеристик и. В этом случае изучаемые признаки (напр., ЭКГ, ЭЭГ и т. д.) рассматриваются как случайные функции Y(t) и Х(t). По результатам наблюдения над этими функциями также определяются две важнейшие характеристики: а) оценка оператора связи (математического уравнения) между Y (t) и X(t); б) оценка тесноты связи между ними. В качестве характеристик тесноты связи принимаются дисперсионные и корреляционные функции случайных функций Y (t) и X(t). Эти функции представляют собой обобщение дисперсионных отношений и коэффициентов корреляции. Так, нормированная взаимная дисперсионная функция ηyx(t) каждого фиксированного значения t представляет собой дисперсионное отношение между значениями признаков Y (t) и Х(t). Аналогично нормированная взаимная корреляционная функция Ryx(t) представляет собой для каждого фиксированного значения t коэффициент корреляции между признаками Y(t) и X(t). Характеристика линейной связи (зависимости) для одной и той же исследуемой величины в различные моменты времени носит название автокорреляции.

К. а. является одним из методов решения задачи идентификации, нашедшей широкое распространение при получении математических моделей и автоматизации мед.-биол, исследования и лечения.

См. также Математические методы (в медицине), Эвристические методы.



Библиография: Вычислительные системы и автоматическая диагностика заболеваний сердца, под ред. Ц. Касереса и Л. Дрейфуса, пер. с англ., М., 1974; Гутман С. Р. О двух моделях электроэнцефалограммы, сходящихся к нормальному случайному процессу, в кн.: Управление и информ. процессы в живой природе, под ред. В. В. Ларина, с. 205, М., 1971; Заславская Р. М., Перепел-кин Е. Г. и Ахметов К. Ж. Корреляционные связи между показателями гемокоагуляции и липидного обмена у больных .стенокардией в течение суток, Кардиология, т. 17, № 6, с. 111, 1977; К р а м e р Г. Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1975; Пастернак Е. Б. и др. Исследование электрической активности предсердий при мерцательной аритмии с помощью приборного корреляционного анализа, Кардиология, т. 17, Хя 7, с. 50, 1977; Синицын Б. С. Автоматические корреляторы и их применение, Новосибирск, 1964, библиогр.; У р-б а х В. Ю. Статистический анализ в биологических и медицинских исследованиях, М., 1975, библиогр.



Источник: Большая Медицинская Энциклопедия (БМЭ), под редакцией Петровского Б.В., 3-е издание